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哪種投票制度最合理？ Blockvotia的國民議會剛統計完了對Palmgreasing Slushfund議案的投票情況，總統Freebie Perks滿臉的不高興。他的私人秘書Penelope Poundpincher施展渾身解數拼命安慰他。“Penny,你曾告訴我6個地區中有4個地區（包括最大的那個地區）支持此議案。那我們怎么輸了呢？”“這是由于加權投票制度的緣故，先生。你知道，每個地區孝分配了與其人口數大致成比例的一定票數。這是說明詳細分配情況的一張表（見圖1）。總的票數為31 。因此，任何一個擁有16張票（即比總票數的一半多一張票）的聯盟將能夠左右選舉的結果。Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney群島對議案投了贊成票。我已經說過，這正好是6個地區中的4個，而且包括了最大的一個。且它們合起來僅有15票，而反對議案的兩個地區卻有16票。”“總統選舉下個月就要進行，我不希望這一情況重演。如果我們讓邊界委員會給Sheepshire加一票，而使Candlewick減一票——”Penny把頭搖得像撥浪鼓。“我不主張這樣做，先生。Richfolk和Candkewick這兩個區都贊成你連任。Sheepshire猶豫不決，而另外三個地區則反對你連任。Richfolk和Candlewick可以挫敗另外4個區組成的聯盟，但如果你從這兩個區中任一個區減去一票的話，那情況就不同了。”這時有人敲門。Porkney群島的代表Charlie Hogg沖了進來。“總統先生，這場滑稽戲不能再繼續演下去了！”“什么滑稽戲？”你所謂的民主投票制度，Porkney群島毫無權力。“但你們擁有一票，這是與你們的人口成比例的。Slurrey的人口比你們還多，也只有一票。你們擁有的權力實際上比Slurrey還多。”“不對。任何投票的結果都完全被三個最大的地區所左右。這三個地區至少有兩個將投相同的票，而它們合起來的票數至少同Richfolk和Candlewick（分別是第二大和第三大的地區）擁有的總票數一樣多。這就有了16票，居于多數地位。在任何一次投票中，即使3個最小的地區一票也不投，也會得到相同的結果！”“我明白了。但我能把它怎么樣呢？”“再給我們一票！這樣至少3個最小的地區就可以同Sheepshire聯合起來打出一個平局。如果你再給Slurrey也加一票，那么我們就可以結成一個獲勝的聯盟了（見圖1）。”“我明白你的意思。這樣總票數就是33”，Penny說。“這樣有17票或17票以上就可以得勝。Fiddlesex,Slurrey,Porkney群島和Sheepshire結成聯盟，能夠贏得投票。”“不錯！三個最小的地區中的任何一個才能夠改變投票的結果——它們將擁有力量均勢！”這時邊界委員會的聯絡官Gerry Mander走了進來。Perks問他：“Gerry，邊界委員會能否重新劃定各區的邊界，使Slurrey和Porkney群島各多得一票？”Cerry Mander搖了搖頭。“Slurrey區還可想點辦法。但Porkney是群島就不好辦了。”Hogg咆哮起來：“我的選民們會不高興的。”總統嘰咕著說：“是會不高興。不過，正如你說的那樣，這沒有什么用，因為你的地區毫無權力。我看你最好不要發出無法兌現的威脅，Hogg 。”“單是三個選區就可以把你趕下臺，這種情況也不會使你感到舒服。你必定能夠想點什么辦法。”“我可以再給Sheepshire兩票。能辦到嗎，Gerry？”“沒問題。區界沿著Wastedump河彎彎曲曲地延伸。我們很容易把它改合理一些。” 。“但是給最大的地區再加幾票不可能幫助最小的地區獲得一份權力呀！”Hogg傷心地叫道。Perks說：“恰恰相反，如果Sheepshire再多兩票的話，你就會得到一份權力（見圖1的右圖）。”“不錯”，Penny邊說邊看著這些數字，“這同一個聯盟共擁有33票中的17票；依然是最小的三個地區中的每一個都可以聲稱自己掌握著力量均勢。”“這真是妙極了”，Hogg說，“你給了Sheepshire更多的權力，其中部分權力卻鬼使神差般地影響到我們。”“不，Hogg 。我們并沒有給Sheepshire更多的權力——我們只是給他們更多的選票”，Penny吸了一口氣說，“正如你說的那樣，權力和選票并不是一回事。”“怎么會是這樣？”Perks問道，“如果權力不是選票，那它是什么？我需要知道這一點。權力贏得選舉。”“我認為你需要Banzhaf權力指數，先生”，Penny說，“John F.Banzhaf是喬治敦大學的一位法律專家。1965年他提出了在加權投票體制中衡量代表所擁有的權力的一種方法。他的設想是，一位代表可以通過加入一個看來要輸掉的聯盟使其轉敗為勝。或者背棄一個看來要獲勝的聯盟使其轉勝為敗而顯示其權力。”“這不是同一回事嗎？”“是同一回事，先生。如果你加入一個聯盟，你同時也就背棄了由其他所有人組成的另一個聯盟。所以我們只需要考慮一種情況就夠了——比如說考慮建立一個獲勝的聯盟。假定某一位代表在聯盟中起著關鍵性的作用：有了她則聯盟贏得投票，失去她則聯盟輸掉投票。任何一位代表的Banzhaf權力指數就是她在其中恰好起著這樣一種作用的聯盟的數目。”“我們原先的投票體制是一個（16；10，9，7，3，1，1）體制。獲得多數所需的票數為16票。各人代表的加權為10，9，7，3，1和1 。Porkney僅能在恰好有16票的聯盟中起著關鍵作用。如果這種聯盟有更多選票，那么Porkney是否背棄它對投票結果不會有任何影響。如果其票數少于16票，則它就不是一個獲勝聯盟了。但是Porkney所屬的任何一個聯盟其選票總數均不等于16票，因此Porkney的權力指數為零。按照總統提出的新方案，我們將有一個（17；12，9，7，3，1，1）投票體制。Porkney在其所屬的任何一個恰好有17票的聯盟中起著關鍵作用。這種聯盟正好有一個，即由Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney組成的聯盟。因此，Porkney的權力指數為2 。”“那么Sheepshire的權力指數為多少？”Perks問。“Sheepshire有12票，因此它在它加入的任何一個擁有17票到28票（即17－1＋12票），的聯盟中起著關鍵作用。你可以通過試錯法列出這些聯盟（見圖2）。這種聯盟共有18個，因此Sheepshire的權力指數為18 。”Hogg叫了起來：“Sheepshire的人口是我們的人口的12倍，可他們的權力卻只有我們的權力的9倍。”Gerry問道：“有沒有比試錯法更好的計算權力指數的方法呢？”Penny說：“嗯，對于大的投票體系，最好的辦法是使用計算機。不過，對于小的投票體系（比如我們這一個），有一種巧妙的圖解法。假定此體系是（3；2，1，1），這就是說，有三位投票人：A，B和C 。A有兩票，B和C各有一票，且3票構成多數。”“首先畫出一個顯示出所有可能的聯盟的點陣圖；如果這些聯盟僅相關一個成員，則把它們用一條邊聯接起來。在每條邊上標以非兩個聯盟所共有的那個成員。然后標出每一條關鍵的邊——也說是總票數從低于多數票變成等于多數票或高于多數票的那些邊。任何一位成員的權力指數就是其上標有它的名字的那些邊的數目。在這個例子中，A出現在3條關鍵邊上，因此它的權力指數為3；B和C則各出現在一條關鍵邊上，因此其權力指數均為1 。這個點陣圖是個立方體。對于更大的系統，你也可以畫出點陣圖，但是看起來就有點零亂了。不過四個成員的點陣圖還是有點漂亮的。”Hogg說：“我希望的是每個成員擁有的權力指數大致同其人口成比例。”“這可不那么容易辦到”，Penny說，“讓我向你說明紐約州湯普金斯縣議會1982年是如何做到這一點的。權力指數幾乎正好與人口成比例。”“我們也可試試看”，Hogg提議說。“或許可以吧”，總統慢條斯理地說，“你對美國總統的權力指數作過研究嗎，Penny？”“是的，先生。美國總統的權力指數為一位參議員的權力指數的40倍，為一位眾議員的權力指數的175倍。”“這聽起來很不錯。”“不過美國立法機構作為一個總體，其權力大約為總統的權力的兩倍半。”Freebie Perks盯著她有片刻，然后無所畏懼地正視著Hogg說：“我想我們會堅持現行的制度。”

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