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什么？計算機也會算錯數？( 二 )

小知識


讓我們回想一下小學的數學知識， 在十進制中， 如果要用有限小數來表示一個分數的值， 那么這個分數的分母（化簡之后）一定不能包含除了2和5以外的其他質因數， 因為十進制以10來分割數軸， 而10分解質因數的結果為2×5 。 舉個例子：1/8、1/10、1/25都可以換算成有限小數（分別是0.125、0.1、0.04）， 因為這些分數的分母分解質因數之后只包含2或者5（8=2×2×2、10=2×5、25=5×5）， 而當分母包含其他質因數時， 例如1/3、1/7、1/18這些則無法用有限小數來表示（也就是俗話說的“除不盡”） 。 如果我們把這個規律套用到二進制上會怎么樣呢？2本身就是一個質數， 無法分解質因數了， 因此在二進制中， 如果要用有限小數來表示一個分數的值， 那么這個分數的分母一定只能包含2這一個質因數， 換句話說， 分母必須為2的冪（2、4、8、16、32……） 。
好了， 我們回頭看看開頭的題目， 0.1換算成分數就是1/10， 而1/10的分母是10， 10并不是2的冪， 因此， 在二進制中并不能用有限小數來表示1/10這個值 。 事實上， 如果將0.1轉換成二進制， 我們會得到一個無限循環小數：0.000110011001100……看到這里， 很多人估計已經想明白了， 沒錯， 計算機的精度是有限的， 并不能直接處理無限小數， 對于無限小數必須要截短到某個位置把它變成有限小數， 但截短之后這個數就不準了， 必然就產生了一點誤差， 而連續加10次會將這種誤差放大， 當誤差被放大到一定程度時， 計算的結果就會出問題了， 于是我們就看到了開頭的那一幕 。 如果用十進制來類比的話， 大家可以想象一下， 1/3+1/3+1/3=1， 但1/3只能用無限循環小數來表示， 即0.333333……， 如果我們將它截短到某一位， 假設截到0.333， 那么0.333+0.333+0.333=0.999， 你看， 同樣也會出問題 。
問題的原因總算搞清楚了， 不過感覺很坑爹啊， 計算機居然算不準小數， 但為什么平時大家很少因此遇到問題呢？那是因為大多數用戶都不用編寫程序， 但對于整天編寫程序的程序員來說， 這樣的問題其實經常遇到 。 比如說， 如果你在一段程序中需要讓計算機判斷0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1是否等于1， 計算機會告訴你不等于1， 坑爹吧？如果這段程序涉及到算錢， 有時候就會錯得很離譜， 因此有經驗的程序員在碰到小數計算的時候都會特別小心 。 當然， 作為一般用戶我們平時根本不需要關心這樣的問題， 不過計算機居然會算錯數， 怎么想都覺得挺奇妙的吧？

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