三角形內角和為180° ， 這其實是平面幾何的必然成果 ， 也是《幾何原本》中第五公設的推論；若是分開了平面幾何 ， 好比在一些曲面上 ， 三角形的內角和是可以不等于180°的 。
我們有良多方式 ， 來證實平面內三角形內角和為180° ， 也就是一個平角的角度 ， 可是無論我們用到什么方式 ， 素質上都用到了歐幾里得第五公設或者是第五公設的等價道理 。

這此中隱含的道理 ， 數學家們摸索了兩千多年 ， 若是你不利用第五公設（或者等價道理） ， 你是不成能證實三角形內角和為180°的 。
公元前300年前后 ， 聞名古希臘數學家歐幾里得創作了《幾何原本》 ， 書中以23條界說、五個正義和五個公設為根本 ， 以嚴密的數學邏輯推導出467個定理 ， 奠基了平面幾何的根本 。



正義是指人類按照實際經驗得出 ， 無需自證的根基事實 ， 《幾何原本》中的五個正義包羅：
1.等于同量的量彼此相等 。
2.等量加等量 ， 和相等 。
3.等量減等量 ， 差相等 。
4.彼此重合的圖形是全等的 。
5.整體大于部門 。
公設也是指無需自證的根基事實 ， 可是比擬于正義來說 ， 公設更有深度一些 ， 近代數學中公設等價于正義 ， 《幾何原本》中的五個公設包羅：
1.過兩點能作且只能作一條直線 。
2.線段可以無限耽誤 。
3.以任一點為圓心 ， 肆意長為半徑可作一圓 。
4.直角都相等 。
5.平面內一條直線和兩條直線訂交 ， 若在直線同側的兩個內角之和小于180° ， 則這兩條直線無限耽誤后在這一側必然訂交 。
五個公設中的前四個很輕易理解 ， 根基上也不會有爭議 ， 可是赫赫有名的第五公設可折騰了數學家兩千多年 ， 因為第五公設看起來怎么也不像不證自明 ， 固然歐幾里得極盡削減第五公設的說話描述 ， 可是第五公設比前面四個公設加起來還長 。



因為第五公設素質上與“平行線不訂交”等價 ， 所以第五公設也叫做平行公設 ， 汗青上有良多人試圖用前面四個公設來證實第五公設 ， 但都掉敗了 。 固然有一些人傳播鼓吹完當作了證實 ， 可是在證實過程中 ， 都不經意地引入了第五公設的等價命題 ， 好比平行線不訂交、三角形內角和為兩個直角等等 。



歐幾里得在著作《幾何原本》時 ， 必定也注重到了這個問題 ， 相信他也做過近似的測驗考試 ， 以至于第五公設在《幾何原本》中直到命題29才起首被利用 ， 并且這個命題必需得利用第五公設才能完當作證實 。
命題29：一條直線與兩條平行直線訂交 ， 則所當作的內錯角相等 ， 同位角相等 ， 且同旁內角之和等于180° 。
在1795年 ， 英國數學家普萊費爾提出了一條和第五公設等價的描述 ， 既“過直線外一點 ， 能且只能做一條平行線” ， 該描述比《幾何原本》中的描述簡單良多 ， 被稱作普萊費爾正義 。



直到1868年 ， 意大利數學家貝爾特拉米 ， 才起首證實第五公設自力于前面四條公設 ， 并且第五公設的否認描述也是自洽的 ， 也就是說歐氏幾何與非歐幾何是兩個分歧的幾何系統 。
其實早在貝爾特拉米之前 ， 俄羅斯數學家羅巴切夫斯基就已經發現了第五公設不成證 ， 此刻我們把非歐幾何中的雙曲幾何 ， 也稱作羅巴切夫斯基幾何 。

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