年輕的俄羅斯數學家羅巴切夫斯基突發奇想 ， 將古老歐氏平面幾何的“平行公理”稍作改變 ， 創立了邏輯上同樣完整而嚴密 ， 但看起來卻有些古怪的“非歐幾何” 。 最初 ， 人們對此嗤之以鼻 ， 認為這不過是瘋子數學家玩的游戲而已 。
不過 ， 那些嘲笑羅巴切夫斯基的人沒有料到 ， 幾十年之后 ， 非歐幾何在愛因斯坦的廣義相對論中找到了用武之地 。 它正是廣義相對論中描述的一種彎曲空間所遵循的幾何！
古老的幾何學

幾何是一門古老的學科 ， 在公元前由幾何大師歐幾里德創立 ， 至今兩千多年威力不減 。
歐幾里德幾何是一個漂亮的公理系統 ， 它只需要設定幾條簡單的、符合直覺、大家公認、不證自明的命題（稱為公理或公設） ， 然后從這幾條命題出發 ， 推導證明其它命題 ， 繼而推導證明更多命題 ， 如此繼續下去 ， 一套數學理論便建立起來了 。 這就像是建造高樓大廈 ， “公理”就是水平放在地基第一層的大“磚塊” ， 有了牢靠堅實的基礎 ， 其它磚塊便能夠一層一層疊上去 ， 萬丈高樓也就能夠平地而起 。 基底磚塊破缺了 ， 或者置放得不平穩 ， 樓房就可能會倒塌 。
歐幾里德平面幾何的公理有五條 。 他就從這簡單的五條公理出發 ， 推演出了所有的平面幾何定理 ， 建造出歐氏幾何的宏偉大廈 。
數學邏輯推理創造的奇跡令人吃驚 。 不過 ， 當人們反復思考這幾條公理時 ， 覺得前面4條顯然都是不言自明的 ， 唯有第五條公理比較復雜 ， 聽起來不像一個簡單而容易被人接受的直覺概念 。 于是 ， 人們就自然提出疑問：這第五條是公理嗎？它是否可以由其它4條公理推導出來？大家的意思就是說 ， 歐氏平面幾何的大廈用前面4塊“大磚頭”可能也就足以支撐了 。 這第五塊磚頭 ， 恐怕本來就是放置在另外四塊磚頭之上的 。
歐氏平面幾何的第五條公理也稱為“平行公理” ， 可表述為：“過直線外的一點 ， 有且僅有一條平行線 。 ”
一位名叫尼古拉·羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky ， 1792 - 1856）的年輕俄羅斯數學家突發奇想：如果將這條公理稍稍改變一下 ， 也就是說 ， 將大廈下面的某塊基石稍微移動一下 ， 會產生什么樣的后果呢？比如說改成：“過直線外的一點 ， 至少有兩條平行線 。 ”
這一改非同小可 ， 幾字之差 ， 生出了與歐氏幾何完全不同的另一種幾何 ， 人們稱之為“非歐幾何”或“羅氏幾何” 。 非歐幾何的大廈同樣拔地而起、穩固牢靠 ， 邏輯上完整而嚴密 ， 但看起來卻有些古怪 。
羅氏幾何體系得到古怪而不合常理的命題是必然的 ， 因為被羅巴切夫斯基改變之后的第五公設 ， 本身就與人們的日常生活經驗不相符合 。 過平面上直線外的一點 ， 怎么可能作出多條不同的直線與已知直線不相交呢？由此而建造出來的數學邏輯大廈 ， 當然會是個怪物 。 比如說 ， 羅氏幾何導出了如下古怪的命題：同一直線的垂線和斜線不一定相交；不存在矩形 ， 因為四邊形不可能四個角都是直角；不存在相似三角形；過不在同一直線上的三點 ， 不一定能作一個圓；一個三角形的三個內角之和小于180度……這種奇怪的“幾何大廈” ， 能有什么用處呢？有人嗤之以鼻 ， 心想 ， 不過是瘋子數學家玩的游戲而已！
那些嘲笑羅巴切夫斯基的人沒有料到 ， 幾十年之后 ， 非歐幾何在愛因斯坦的廣義相對論中找到了用武之地 ， 它正是愛因斯坦廣義相對論描述的一種彎曲空間所遵循的幾何！
幾何上的無窮小
不過 ， 真正與廣義相對論彎曲空間有關的是“黎曼幾何” ， 它比上面所說的非歐幾何更進了一步 ， 屬于微分幾何 。

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